Limiti di Taylor

[九喇嘛]

In realtà bho lo chiedo anche perché già pago abbastanza il professore privato, quindi chiederlo al professore mi richiederà più tempo e money quindi non mi va.
Comunque se qualcuno ne sa qualcosa aiutatemi
dunque parliamo di svolgimento di limiti che tendono a 0 tramite il metodo di Taylor, il problema sono gli sviluppi in serie di Mac Laurin, si certo sono già fatti ma sono tanti e non voglio impararli tutti a memoria, ma non so come ci è arrivato a quei sviluppi se qualcuno sa dirmi il metodo per ricavare gli sviluppi sarei felicissimo, evitate di consigliarmi siti del tipo YouMath che sono equivalenti ad wikipedia e spara una marea di cazzate.

[Royalsapphire]

Gli sviluppi di Taylor/MacLaurin di una funzione in un punto si trovano semplicemente calcolando il valore della funzione e delle sue derivate (prima, seconda, terza, etc., a seconda dell'ordine dello sviluppo) in quel punto.
Quindi basta essere in grado di calcolare le derivate di funzioni tramite le semplici regole di derivazione...
Una volta che si è in grado di calcolare gli sviluppi in serie di Taylor/MacLaurin, questi si possono utilizzare per calcolare i valori di limiti nel caso di forme indeterminate (ma forse non è questo l'oggetto della domanda...).

[九喇嘛]

Gli sviluppi di Taylor/MacLaurin di una funzione in un punto si trovano semplicemente calcolando il valore della funzione e delle sue derivate (prima, seconda, terza, etc., a seconda dell'ordine dello sviluppo) in quel punto.
Quindi basta essere in grado di calcolare le derivate di funzioni tramite le semplici regole di derivazione...
Una volta che si è in grado di calcolare gli sviluppi in serie di Taylor/MacLaurin, questi si possono utilizzare per calcolare i valori di limiti nel caso di forme indeterminate (ma forse non è questo l'oggetto della domanda...).

è proprio qui il punto le derivate le so fare sono strafacili è calcolare quei sviluppi che non li capisco, cioè se prendi anche lo sviluppo del coseno fare la sua derivata prima poi la seconda ecc non ti escono numeri tipo i fattoriale, cioè la mia domanda è qual'è il procedimento per arrivare agli sviluppi, anche perché anche facendo una derivata qualsiasi non ti escono i fattoriali.

[Hanamichi]

C'è bisogno dell' Ing. Kiono.

[Royalsapphire]

Il fattoriale di un numero intero positivo n (n!) è definito come il prodotto di n e di tutti gli interi che lo precedono:




n! = 1*2*3*...*(n-1)*n




Ad esempio:




1! = 1

2! = 1*2 = 2

3! = 1*2*3 = 6

4! = 1*2*3*4 = 24




(si definisce, per completezza, anche 0! = 1)




Lo sviluppo non è altro che una somma di termini. A ciascun termine è associato un indice k e vi figura la derivata della funzione di un ordine k (la funzione non derivata quando k=0, la derivata prima quando k=1, la derivata seconda quando k=2, etc.).


Quindi, quando costruisci il termine k-esimo dello sviluppo dovrai calcolare:

- la derivata di ordine k calcolata nel punto in cui stai facendo lo sviluppo.

- il fattoriale di k.




Per esempio:


- primo termine (dove figura la funzione non derivata): k = 0 -> k! = 0! = 1.


- secondo termine (dove figura la derivata prima della funzione): k = 1 -> k! = 1! = 1.



- terzo termine (dove figura la derivata seconda della funzione): k = 2 -> k! = 2! = 2.


- quarto termine (dove figura la derivata terza della funzione): k = 3 -> k! = 3! = 6

- e cosi via...

[九喇嘛]

Il fattoriale di un numero intero positivo n (n!) è definito come il prodotto di n e di tutti gli interi che lo precedono:




n! = 1*2*3*...*(n-1)*n




Ad esempio:




1! = 1

2! = 1*2 = 2

3! = 1*2*3 = 6

4! = 1*2*3*4 = 24




(si definisce, per completezza, anche 0! = 1)




Lo sviluppo non è altro che una somma di termini. A ciascun termine è associato un indice k e vi figura la derivata della funzione di un ordine k (la funzione non derivata quando k=0, la derivata prima quando k=1, la derivata seconda quando k=2, etc.).


Quindi, quando costruisci il termine k-esimo dello sviluppo dovrai calcolare:

- la derivata di ordine k calcolata nel punto in cui stai facendo lo sviluppo.

- il fattoriale di k.




Per esempio:


- primo termine (dove figura la funzione non derivata): k = 0 -> k! = 0! = 1.


- secondo termine (dove figura la derivata prima della funzione): k = 1 -> k! = 1! = 1.



- terzo termine (dove figura la derivata seconda della funzione): k = 2 -> k! = 2! = 2.


- quarto termine (dove figura la derivata terza della funzione): k = 3 -> k! = 3! = 6

- e cosi via...

Dunque scusa per la risposta tarda ma avevo degli impegni ed ero sempre fuori.

Comunque cosa intendi per ordine k, nel senso hai detto "la derivata della funzione di un ordine k"

Prendiamo uno sviluppo semplice:

Cos h x = 1 + x^2/2! + x^4/4! + x^6/6! + ecc.

Il problema è che se io vado a calcolare la derivata prima del coseno iperbolico è uguale al seno iperbolico poi la derivata seconda invece è coseno iperbolico e alla fine si finisce continuamente ad alternarsi.

Quindi Mac Laurin ha fatto questi sviluppi partendo da quale teoria, quali fondamenti? ma soprattutto queste sue derivate da dove escono, è questo passaggio che mi manca.
Nel senso a me serve il procedimento per calcolare questi sviluppi, io non ho problemi ad applicarlo dopo o a fare un calcolo ma non riesco a farlo se non capisco il senso, il perché di questa affermazione se non riesco a capire che teoria a usato non vado avanti, probabilmente sarà una dimostrazione come di solito succede nella matematica.

Grazie in anticipo.

[Michele76*]

C'è la formula da applicare per ottenere gli sviluppi in serie delle funzioni, ma di fatto bisogna impararne un pò a memoria perchè
altrimenti non ti passa più se ogni volta che vai a risolvere un limite di devi ricavare da zero lo sviluppo di una funzione da sostituire.
Su come arrivare alla formula di Taylor in genere c'è la spiegazione sul libro di testo che non credo sia possibile spiegare nella
pagina di un forum, però c'è da dire che il come si arriva non è importante negli esercizi, li conta solo saperla applicare.

[Laremi]

Ciao, ho capito il tuo problema, la derivata devi calcolarla in xo, 0 nel caso della seri di Mac Laurin,e quindi diventa un numero che va moltiplicato per x^n con n crescente. tu invece usi f(x).
Per spigarmi.
se vuoi calcolare la serie di Tailor di f(x) in un intorno di xo tu fai
f(x)=f(x)+f'(x)*x+f''(x)*x^2+... ed è sbagliato
il modo esatto è
f(x)=f(xo)+f'(xo)*x+f''(xo)*x^2+...

con f(xo) il valore numerico della funzione calcolato in xo

nel caso della serie di Mac Laurin xo=0 quindi diventa:

f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(0)*x^2+...

spero di essermi spiegato

[Laremi]

Devi aggiungere fratto n fattoriale ad ogni termine della sommatoria. quindi

f(x)=f(0)+f'(0)*x/1!+f''(0)*x^2/2!+...

scusa la svista

[九喇嘛]

Devi aggiungere fratto n fattoriale ad ogni termine della sommatoria. quindi

f(x)=f(0)+f'(0)*x/1!+f''(0)*x^2/2!+...

scusa la svista

Mmmh non hai capito la domanda.

C'è la formula da applicare per ottenere gli sviluppi in serie delle funzioni, ma di fatto bisogna impararne un pò a memoria perchè
altrimenti non ti passa più se ogni volta che vai a risolvere un limite di devi ricavare da zero lo sviluppo di una funzione da sostituire.
Su come arrivare alla formula di Taylor in genere c'è la spiegazione sul libro di testo che non credo sia possibile spiegare nella
pagina di un forum, però c'è da dire che il come si arriva non è importante negli esercizi, li conta solo saperla applicare.

Esatto mi serve la spiegazione del libro Michele esatto è quella che mi serve.
Mettiamo che il professore all'orale mi chiede la dimostrazione che li rispondo?che so applicare Taylor ma non so come arrivare alle formule di sviluppi in serie di Mac Laurin? Non la trovo sul libro di analisi, e non la trovo neanche su internet, penso che mi toccherà chiederla al professore privato.
Michele se la sai pls